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[1]数学的发展与创新思维 数学是一种思维方式,表现了人类思维的本质和特征。几何学的公理化体系具有逻辑严谨性和对象抽象性从而又具有应用广泛性而素称思维的体操,这一点已得到大家的 公认。
数学思维更是当前学术界的常用词,它不仅指数学中的逻辑思维,还特指与数学密切相关的思维方式。数学家将这种思维分为左脑管辖的抽象思维、形式化和公理化,右脑管辖的探索性思维、形象思维和直觉思维。目前正在研究左右脑思维的配合,以期将数学发展成为一种高效率的思维科学。[2]由此不难发现,如果数学科学家缺乏创新思维,它必阻滞数学家发明或创造新的数学方法、思想和原理,这是千百年来数学发展规律的历史经验总结。因此要回答数学被发现还是被发明就必须来考察数学创新思维的一般规律。 法国著名数学家彭加勤在巴黎心理学会上作过一次著名的演讲,在这一讲演中,关于数学创新思维的过程,彭加勒曾以自己发明富克斯群和富克斯函数理论为例,作过生动的描述。起初,彭加勒对这种函数冥思苦想想了整整两个星期,企图证明它不存在。后来,一天晚上彭加勒说:不同于往常的习惯,我喝了浓咖啡,因而辗转反复,难以入眠,众多思维蜂拥而至,我感到了它们不断地冲突和碰撞,,直到最后,它们一一相连,也就是说,形成了一个稳定的组合体。[3] 由此,彭加勒构造出了第一类这种函数。就在 此时,他开始了旅行生活,旅途中他忘掉了数学工作。突然在马车踏板上的一刹那,一个思想突然闪现在他的脑海里,这个思想就是,他用以定义富克斯函数的变换与非欧几何变换是等价的。对彭加勒的数学创新过程我们可以概括成以下四个阶段:(1)准备阶段,这时是有意识的工作,但常常不能得到预期的结果;(2)酝酿阶段,即暂时丢开手头工作,而去干些其他事件,或去休息一下子,而无意识思维却已由此而开动起来;(3)顿悟阶段,此时问题的答案或证明的途径已经出乎预料地突然出现了;(4)整理阶段,即将顿悟时所感觉到的那些结果严格地加以证明,并将其过程精确化,同时又可为下一步研究作好必要的准备。可见,数学创新思维是由相互联系、相互作用的若干组成部分按一定方式结合的具有特定功能的有机整体,数学创新的四个阶段是数学认识过程的程序化的体现。 世界著名数学家、科学家和哲学家在其科学与方一书中认为,数学直觉并不是每一个人都具有的,有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉,或者没有超常的记忆力和注意力,因此,他们绝对不可能理解较高级的数学。[4]更重要的是,在彭加勒看来,只有超常的记忆力和注意力,而没有数学直觉的人,他们能够理解数学,有时还能应用数学,但不能创造数学;而具有这种特殊的数学直觉的人,尽管记忆力和注意力毫无非同寻常之处,他们也能理解数学,并且可以成为数学创造者。我国著名数学家华罗庚、王元创立的用数论方法对多重积分进行数值计算的著名方法。1958年,王元看到苏联数学家卡拉波夫的一篇论文,该文论述了积分近似计算与蒙特`卡罗方法之关系,之后他马上找到华老,华先生一眼看出蒙特`卡罗方法的实质就是数论方法。从此,他们走上了用数论方法探索对多重积分进行数值计算的道路。对单重积分由牛顿、车贝契夫、高斯等都做出过杰出贡献,若将他们的公式推广到高维情形,则误差将随维数增加而增加,显然这种方法是行不通的。华王二先生随即从二重积分入手,想从中找到突破口,他们认真分析了卡拉波夫方法的特点:理论较复杂且适应范围小。对此,他们大胆提出了一种直接的方法,并要快速找出一组点,适应范围尽可能大。根据华先生的直觉,他认为确定计算二重积分的点即平面上的点。用费波那契数列和黄金分割即可找到,果真如此,王先生根据华先生的想法,很快就证明出来了,对二重积分的近似计算获得了一个完美的逼近公式,发表在1960年的科学记录上,至今仍在实际中广泛应用。从以上实例不难看出,华老是直觉型数学家,王老是逻辑型数学家。确实说明阿达玛关于数学家之间主要区别是:有些数学家是直觉型的,另一些是逻辑型论述的正确。由此归结为探讨逻辑思维和直觉思维在数学发展中的职能问题了,逻辑思维是数学思维中的主导成份,直觉思维是数学创造中的关键因素,是数学创新过程中的创造型思维。
二、数学既被发现又被发明 在创造性阶段,直觉起着重要作用。一般而言,直觉是智慧对客体的把握和内省,其 表现往往是灵感和顿悟。由于直觉思维凝聚着探索者的观察力、思考力,故它本身就是一项严肃的科学活动。而科学发现许多时候都得力于顿悟一刹那间闪现出的灵光,所以它也是发明的艺术、创造的前奏。例如上例中彭加勒发明富克斯群和富克斯函数。数学直觉思维,就是直觉空间对知识空间的作用。该作用一般地说主要表现在两个方面:一是在知识的发现方面,面对一些数学事实,通过直觉的猜测、想象活动,概括出新命题,这便是直觉归纳问题。一是在知识的证实方面,对于数学问题或猜想出的命题进行解决和证明,这虽然是逻辑论证的事,但是没有直觉的指引和参与似乎是难以完成的,这便是直觉论证问题。在这个发现过程中也包含了发明因素,体现了直觉的发明功能,然而不管是什么方面的作用,当我们把归纳和论证都看成是对某个问题的解决时,这些作用便可概括成为直觉思维在数学发明上的创造功能。 徐利治先生是我国著名数学家,他在数学研究中,常常借助于由经验获得的直观能力,以猜想的方式去探索某些可能取得的成果,例如1964年他在吉林大学任教期间,一度对超越方程求实根问题发生了兴趣,研究目标是希望能找到无需估算初值的大范围收敛迭代法。他想到欧拉在寻求著名的级数和 1+1/22+1/32+,+1/n2+,=P2 /6 时,曾把正弦函数的幂级数展开式大胆地看成为无限次多项式,从而通过类比法得到了正弦函数的因式分解的无穷乘积公式,最后再把乘积展开后与幂级数三次幂比较系数,便成 功地解决了雅谷柏努利的级数求和难题,得到了级数1+1/22+1/32+,+1/n2 +,之和 受欧拉思想方法的重要启示,使徐利治先生联想到拉盖耳迭代公式中的参数n应能令它趋向于]而获得适用于超越方程的迭代方法。再由观察立即看出当时拉氏公式的继续保持合理意义,这样,他便猜到了一个可用以求解超越方程的大范围收敛迭代法。最后,应用整函数论里的阿达玛因式定理,果然证明了上述方法的大范围收敛性。 另一方面,许多现代数学家都倾向于承认数学是研究模式的科学,数学展现的是世界所应服从的模式之间的关系,所以从远古时期第一个整数概念形成时开始,绵延至今的数学就一直使用逻辑思维去思考自己的对象,为了使数学能向更高的抽象方向发展,人类便必须采取最可靠的推理方式,除了保证自己的结果准确无误以外,它还要保证自己能够脱离物理世界而能最终符合世界。这个推理就是逻辑演绎。从这一点上说,数学只能被逻辑发现,特别是当某些猜测被逻辑证明出来时,那个数学结果好像早就存在于那里一样,这时数学应该说是被发现出来。 钱学森先生在其大作关于思维科学一文中说:如果逻辑思维是线性的,形象思维是二维的,那么灵感思维好像是三维的。总而言之,在数学创新中,既需要逻辑思维,也需要直觉思维和灵感思维,而且只有将三者有机地结合起来,才能成为创造数学新成果的源泉。逻辑思维是数学思维中的主导成份,严密的逻辑推理是建构数学理论体系的最重要的阶段。是几千年来数学采用的生长知识最成功的一种理性方式,最为典型的属欧几里的模式,这种模式即公理化方法,它通过事先选定的一组术语和确定它们特征的一组公理作基础,运用演绎逻辑的力量,以一系列定理证明的方式展现、研究、发展数学知识,这种模式融研究和整理于一体。充分体现了逻辑演绎的发现功能。 再次,从数学的学科性质看,它早已被人们确认是科学,但是数学科学与其他自然科学相比,有其独特的品性,它是抽象思维建构出来的模式,并且可以进行一系列的模式运算。在信息化、高科技时代的今天,人们越来越认识到,数学不仅是科学,而且还是技术(数学技术)。美国科学院院士J.Glimm说:数学对经济竞争力至为重要,数学是一种关键的普遍适用的,并授予人以能力的技术著名数学家王梓坤院士认为:数学兼有科学与技术两种品质,这是其他学科所难的,不可不知。科学与技术是有区别的,科学讲求要有所发现,目标是追求真理,探索和发现客观存在,是建构关于自然的知识体系,即通常所说的认识自然。而技术讲求要有所发明,是改造自然的活动,即通常所说的关于人们做什么和怎样做的方法和手段,具有强烈的功利主义色彩,其目标是设计和发明自然状态中本不存在,但却为人所需要的过程、程序、装置和产品(追求有效性)。 现代数学建立在公理集合论的基础上,但绝大多数数学家研究的是群、开集等定义在集合论上的结构以及层层定义在它们之上的概念和对象,亦正是这些概念和结构的引入,决定了数学大厦的整体形象,开辟了常规数学研究的场所,决定了数学发展的总方向。这种引入新的数学概念和结构的富于开创性的工作可以看作一种发明,在引入了一组概念从而定义了一组抽象结构以后,数学工作的中心就变成了弄清这些结构的主要特征,这可以比作发现的过程。这个过程一般又分提出命题(猜想)和证明命题两步来完成,这两步工作中,最重要的是提出深刻的猜想,从而计划好弄清整个结构的最佳路线,证明这些猜想，则是实际去走这条路,一般而言是基础,也是较缺乏创造性的工作。[8] 三、数学与真理 史宁中教授的命题在最后追加了一句:/并且请注意到,真理是只能被发现而不能被发明的。这句话正是本命题独到而深刻之所在,它一针见血地引出了数学与真理之关系。所以要回答这一命题,不得不对有关数学与真理之关系作一定的探讨,本文无意于全面研究数学与真理的关系,只想对当前存在的几种倾向,即数学=真理这种认识误区作些探讨。 根据数学本质的工作最早可追溯到古希腊哲学家柏拉图。多少年来很多数学哲学家作了许多有益的探讨,有的认为数学是处于感性认识过渡到理性。康德认为数学是先天综合判断,康德之后,数学发展进入一个新时期,它的重要特点是公理化倾向,这一趋势使大多数数学家形成了数学是一门演绎的科学。 拉卡托斯为了避免数学演绎论与经验的片面性,从分析数学理论的结构入手,提出了数学是一门拟经验科学。[9] 林夏水先生认为:数学是一门演算的科学(其中-演.表示演绎,-算.表示计算或算法,-演算.表示演算这对矛盾的对立统一)。[10]还有人认为:数学是思维,数学 是猜测。 [11]关于这方面的论述还有很多,这些概括都有一定的道理,对理解数学 的本质提供有益的帮助。本文不再一一列出。在我国的数学和哲学工作者中有人认为,或至少潜意识地认为,数学=正确,数学=真理,即把正确和真理看成是数学的本质和数学进步的标准。在这样一种观点的导引下,自然而然地产生了一种错误的认识:数学的进步就被看成是随着数学的发展,它越来越正确,越来越接近真理,为什么这么说呢? 首先,从逻辑上讲,如果说数学的进步表示它越来越正确或越来越接近真理,那么首先必须知道有一个终极的代表绝对正确或绝对真理的标准存在,然而这一标准不仅是不存在的,而且即使存在我们也不知道它究竟在哪儿,因此我们无法断定,随着数学的发展,它究竟是越来越接近,还是越来越远离真理。 其次,从数学的真理性看,从罗巴切夫斯基空间开始只具备逻辑推理上的无矛盾性,但后来终究发现了它的直观模型,并在相对论中得到了应用,这就是说,一个数学的真理性问题,一个数学结论,只要它在逻辑推理中无矛盾性是应该承认它的真理性的。至于能否得到实践的验证,还有时间条件问题,即使假定有些结论永远也不能用到实践中,那么只要它是整个数学科学有机体上一个不可缺少的组成部分,也不应该否定它的真理性。而有些结论,开始在逻辑结构上并不那么严格,但在实践中得到了有效应用,也应该承认其真理性。欧氏几何在理论上并不严格,甚至出现把任意三角形证明为等腰三角形的谬误,但它在应用上是有效的,因而它是真理。而它理论上的不严格最终也被希尔伯特解决了。通过以上事实我们可以说,逻辑上的无矛盾性和实践中的有效性都可以作为判断数学结论的真理性的标准。[12]这正是数学与真理的本质区别,所以说,我们对数学的最大误解莫过于把数学看作是真理,误认为数学的结论只能靠逻辑严谨推理得到,从而追求绝对的真理和真心求理的内功路向,这可能也是我们的数学工作者不敢大胆提出自己科学假说(或叫猜想)的最主要原因。 总之,逻辑推理在数学中的作用是双重和互补的,它既是数学追求的目标,又是数学为达到目标而采用的手段。 由以上讨论我们不难看出,数学这一研究模式的科学,由于模式客观性和现实客观性的统一,使数学兼具发现和发明两种特性,正是这两种特性使数学在获得模式真理性的同时也就自动在某种意义上获得了现实真理性,并最终使这两种真理性达到完全一致,检验数学真理性的标准既可以是逻辑上的无矛盾性也可以是实践中的有效性,而通常意义下的真理其检验标准只能正如邓小平同志的名言:实践是检验真理的惟一标准。因此，数学既能发现又能发明,真理只能发现而不能发明。

在中国古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文学共有3家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张：天像盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。
据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）为赵君卿所作，北周时期甄鸾重述，唐代李淳风等注。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释。
从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。
书中有矩(一种量直角、画矩形的工具)的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容．
在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题,使用了相当繁复的分数算法和开平方法,以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算．还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。

又如《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学的作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体，例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内
的数学知识纳入九章的框架。 然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。
刘徽是中国数学家之一。他的生平知之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。
刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。
一个平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。